أوجد قيمة ٥-٣

إيجاد قيمة المتسلسلة ٥-٣ . . . .

تُعرّف المتسلسلة بأنها متتالية من الأعداد التي لها نمط متكرر. يمكن أن تكون المتسلسلة حسابية أو هندسية. المتسلسلة الحسابية هي متتالية من الأعداد يتم فيها إضافة (أو طرح) رقم ثابت يسمى الفرق المشترك بين كل حدين متتاليين. المتسلسلة الهندسية هي متتالية من الأعداد يتم فيها ضرب (أو قسمة) رقم ثابت يسمى النسبة المشتركة بين كل حدين متتاليين.

المتسلسلة المعطاة هي متسلسلة حسابية حيث يتم طرح 2 من كل حد لإيجاد الحد التالي. لذلك، فإن الفرق المشترك في هذه المتسلسلة هو -2.

أولاً: تعريف مصطلحات المتسلسلة

الحد الأول (a): هو أول رقم في المتسلسلة.

الفرق المشترك (d): هو الرقم الذي تتم إضافته (أو طرحه) إلى كل حد لإيجاد الحد التالي.

الحد العام (an): هو صيغة تعطي قيمة أي حد في المتسلسلة بناءً على موقعه (n).

ثانيًا: إيجاد الحد العام للمتسلسلة

لإيجاد الحد العام للمتسلسلة الحسابية، نستخدم الصيغة:

an = a + (n - 1) d

حيث:

an هو الحد العام.

a هو الحد الأول.

n هو رقم الحد الذي نريد إيجاده.

d هو الفرق المشترك.

في المتسلسلة المعطاة، الحد الأول (a) هو 5 والفرق المشترك (d) هو -2. لذلك، فإن الحد العام للمتسلسلة هو:

an = 5 + (n - 1) (-2)

an = 5 - 2n + 2

an = 7 - 2n

ثالثًا: الأساس المنطقي لإيجاد الحد العام

ينشأ الحد العام للمتسلسلة الحسابية من مفهوم الفرق المشترك. بالنظر إلى أي حدين متتاليين في المتسلسلة، فإن الفرق بينهما يساوي الفرق المشترك. هذا يعني أنه لإيجاد أي حد في المتسلسلة، يمكننا إضافة الفرق المشترك بشكل متكرر إلى الحد الأول. وبالتالي، فإن الحد العام يمثل قيمة الحد الأول بعد إضافة الفرق المشترك (n-1) مرة.

رابعًا: خصائص المتسلسلة الحسابية

الفرق بين أي حدين متتاليين في المتسلسلة هو الفرق المشترك.
مجموع أي عدد من الحدود المتتالية في المتسلسلة يساوي مجموع الحد الأول والحد الأخير مضروبًا في عدد الحدود مقسومًا على 2.
المتوسط الحسابي لأي عدد من الحدود المتتالية في المتسلسلة يساوي متوسط الحد الأول والحد الأخير.

خامسًا: تطبيقات المتسلسلات الحسابية

تُستخدم المتسلسلات الحسابية في العديد من التطبيقات العملية، مثل:

حساب فواتير القروض وفوائد الودائع.

نمذجة النمو السكاني والانتشار.
تقدير المتوسطات والانحرافات المعيارية.

سادسًا: مثال على إيجاد قيمة حد ما

لإيجاد قيمة الحد الخامس في المتسلسلة المعطاة، نستبدل n = 5 في الحد العام:

a5 = 7 - 2(5)

a5 = 7 - 10

a5 = -3

لذلك، فإن قيمة الحد الخامس في المتسلسلة هي -3.

سابعًا: الخلاصة

توفر المتسلسلات الحسابية طريقة منهجية لحساب قيم الحدود في المتتاليات ذات النمط المتكرر. من خلال فهم مفهوم الحد العام والخصائص الأساسية للمتسلسلات الحسابية، يمكننا بسهولة إيجاد قيم الحدود وتطبيق هذه المعلومات في مجموعة واسعة من التطبيقات العملية.